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INDÉTERMINÉES.

$\int \operatorname {d} z{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}$

minimum, entre les limites $c_{0}$ et $c_{1}\,:$

Nous aurons donc ici

$V={\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}},$

d’où (21)

${\begin{alignedat}{3}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)=&0,\qquad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)=&{\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}},\qquad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)=&0,\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=&0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)=&{\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=&0,\ldots \end{alignedat}}$

et de là

${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'=&{\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},\qquad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)'=&0,\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'=&{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=&0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''=&0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=&0,\ldots \end{alignedat}}$

au moyen de quoi l’équation (XIV) deviendra

${\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}X+{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}Y=0.$

Si la courbe n’est assujettie à aucune autre condition qu’à celle d’être minimum entre les deux plans donnés, $X$ et $Y$ devront demeurer indépendans, et conséquemment cette équation se partagera en ces deux-ci :