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SOMMATION

lorsqu’on les a débarrassées des imaginaires qu’elles contiennent, on aura les théorèmes suivans :

THÉORÈME I.

La somme de la série infinie

$A_{1}a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots$

$+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots +\ldots$

dans laquelle on suppose les arcs $t,u,v,\ldots$ au nombre de $n$ et leur somme $s,$ a pour expression finie

${\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [s]+\Sigma \operatorname {F} [s-2t]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}$

en observant, par rapport à la limitation de cette série, ce qui a déjà été dit (Lemme I).

THÉORÈME II.

Si $n$ est un nombre pair, la somme de la série infinie

$A_{1}a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots$

$+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots +\ldots$

a pour expression finie

$\pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [s]-\Sigma \operatorname {F} [s-2t]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}\,;$

en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce qui a été prescrit (Lemme II).