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DES SUITES.

$A_{1}a\operatorname {Sin} .t+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t+A_{4}a^{4}\operatorname {Sin} .4t+\ldots$

est

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}$

En effet, 1.^o suivant la définition de $\operatorname {f} [a],$ les sommes des deux séries

$A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{2}$

$+A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{3}+\ldots$

$A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{2}$

$+A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{3}+\ldots$

ou de leurs équivalentes

$A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2t\right)$

$+A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .3t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3t\right)+\ldots$

$A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2t\right)$

$+A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .3t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3t\right)+\ldots$

sont respectivement

$\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right],\qquad \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right],$

donc la demi-somme de ces deux séries et le quotient de leur demi-différence par ${\sqrt {-1}},$ lesquelles ne sont autre chose que les deux séries proposées, doivent avoir respectivement pour sommes la demi-somme de leurs sommes respectives et le quotient de la demi-différence de ces mêmes sommes par ${\sqrt {-1}},$ ainsi que nous l’avons annoncé.

9. Soient respectivement $\operatorname {F} [t],\operatorname {F} '[t]$ les fonctions auxquelles se réduisent

${\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]},$

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]}{\sqrt {-1}}},$