Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/378

366

SOMMATION

LEMME I.

On a, quel que soit $n,$

$2^{n-1}\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x\ldots =\operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]$

$+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots$

la suite devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire, sans que le nombre des arcs $t,u,v,\ldots$ dont le double de la somme se trouve retranché à $s,$ excède la moitié du nombre $n,$ et le dernier terme devant être réduit à sa moitié, lorsque $n$ est un nombre pair.

LEMME II.

Lorsque $n$ est un nombre pair, on a

$\pm 2^{n-1}\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x\ldots =\operatorname {Cos} .s-\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]$

$+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que $n$ est de la forme $4i$ ou de la forme $4i+2,$ la série devant s’arrêter au terme dans lequel le nombre des arcs $t,u,v,\ldots$ dont le double de la somme est retranché à $s,$ sera précisément égal à la moitié de $n,$ et ce dernier terme devant être réduit à sa moitié seulement.

LEMME III.

Lorsque $n$ est un nombre impair ; on a

$\pm 2^{n-1}\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x\ldots =\operatorname {Sin} .s-\Sigma \operatorname {Sin} .[s-2t]$

$+\Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots$