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SOMMATION

{\begin{aligned}{\text{Pour quatre,}}\;8\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x&=\\{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .s-\operatorname {Cos} .(s-2t)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right],\\-\operatorname {Cos} .(s-2u)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+v)\right]\\-\operatorname {Cos} .(s-2v)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+v)\right]\\-\operatorname {Cos} .(s-2x)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(v+x)\right]\end{aligned}}

et ainsi de suite.

4. Pour écrire ces formules sous une forme plus briève et pouvoir en généraliser l’expression, adoptons les notations que voici : $t,u,v,x,\ldots$ étant des quantités en nombre quelconque, et $\operatorname {F}$ la caractéristique d’une fonction quelconque ; nous poserons

{\begin{aligned}&\Sigma \operatorname {F} (t)=\operatorname {F} (t)+\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} (v)+\operatorname {F} (x)+\ldots \\&\Sigma \operatorname {F} (t,u)=\operatorname {F} (t,u)+\operatorname {F} (t,v)+\operatorname {F} (u,v)+\operatorname {F} (t,x)+\operatorname {F} (u,x)+\operatorname {F} (v,x)+\ldots \\&\Sigma \operatorname {F} (t,u,v)=\operatorname {F} (t,u,v)+\operatorname {F} (t,u,x)+\operatorname {F} (t,v,x)+\operatorname {F} (u,v,x)+\ldots \end{aligned}}

On voit d’après cela que, si les quantités $t,u,v,x,\ldots$ sont au nombre de $n,$

{\begin{array}{ll}\Sigma \operatorname {F} (t)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u,v)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u,v,x)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}{\text{ termes,}}\end{array}}