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SOMMATION

En multipliant de nouveau celle-ci par $2\operatorname {Cos} .x,$ il viendra

8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x=

{\begin{array}{r}2\operatorname {Cos} .(t+u+v)\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .(t+u-v)\operatorname {Cos} .x\\+2\operatorname {Cos} .(t-u+v)\operatorname {Cos} .x\\+2\operatorname {Cos} .(t-u-v)\operatorname {Cos} .x\end{array}}

mais, par la première équation,

{\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .(t+u+v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t+u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t+u+v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t+u-v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t+u-v+x)+\operatorname {Cos} .(t+u-v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t-u+v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t-u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u+v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t-u-v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t-u-v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)\,;\end{aligned}}

substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x=

{\begin{array}{rl}\operatorname {Cos} .(t+u+v+x)&+\operatorname {Cos} .(t+u+v-x)+\operatorname {Cos} .(t+u-v-x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)+\operatorname {Cos} .(t-u+v-x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u-v+x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)\end{array}}

et on pourrait ainsi pousser le procédé si loin qu’on voudrait.

2. Si présentement on fait $s$ égal à $t+u$ dans la première, à $t+u+v$ dans la seconde, à $t+u+v+x$ dans la troisième, et qu’en outre on fasse $x=s$ dans l’équation $\operatorname {Cos} .t=\operatorname {Cos} .t,$ on aura

{\begin{array}{lr}{\text{Pour un arc,}}&\operatorname {Cos} .t=\operatorname {Cos} .s,\qquad \qquad \qquad \qquad \\{\text{Pour deux,}}&2\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u=\operatorname {Cos} .s+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2t),\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2u)\end{array}}