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INDÉTERMINÉES.

fait arbitraires. Représentons, en effet, une de ces équations par

\operatorname {f} (x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots )=L=0\,;\qquad

(XX)

on devra avoir, pour les diverses courbes que l’on considère, concurremment avec la courbe cherchée

\operatorname {f} (x+iX,x'+iX',x''+iX'',\ldots ,y+iY,y'+iY',y''+iY'',\ldots )=0\,;

ou, en développant,

L+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\ldots \right.

+\left.\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots =0

d’où, retranchant l’équation (XX) et exprimant que l’équation résultante a lieu quelque petite que soit $i,$

0=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\ldots

+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \qquad

(XXI)

Il faudra d’abord substituer dans (XX, XXI) pour $x$ et $y$ leurs valeurs en $z$ et en constantes déduites des équations (XV) ; puis, en supposant, par exemple, qu’il soit question de la première limite, mettre pour $z$ sa valeur $c_{0},$ ce qui changera ces équation en celles-ci :

L_{0}=0,\ (\mathrm {XXII} )\ 0=\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{0}X_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}X_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}X_{0}''+\ldots \\\\&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y_{0}''+\ldots \end{aligned}}\right\}(\mathrm {XXIII} )