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RÉSOLUES.

$\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N=2a\operatorname {Cos} .x,$

d’où encore

$1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N=1-a^{2}\,;$

donc

$\operatorname {Tang} .(M+N)={\frac {\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N}{1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N}}={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\,;$

donc

$M+N=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)\,;$

donc enfin

${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)$

qui sera conséquemment la somme finie demandée de la première des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose $a=1,$ on a

${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=\infty \right)={\frac {1}{4}}\varpi \,;$

donc, comme on le savait déjà,

${\frac {\varpi }{4}}=\operatorname {Cos} .x-{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

quel que soit $x.$

En second lieu