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PARTICULIÈRES.

sera devenu moins différent de $c,$ le point $\mathrm {K}$ d’intersection des deux courbes se sera mu sur la branche $\mathrm {MB}$ de la première, de manière à coïncider avec le point $\mathrm {M}$ de celle-ci, lorsque $c'$ sera devenu rigoureusement égal à $c\,;$ donc les points communs à l’enveloppante $\mathrm {MM'M''} \ldots$ et à l’enveloppée $\mathrm {AMB}$ sont les points d’intersection de cette dernière ligne avec celle qu’on obtient en faisant varier infiniment peu le paramètre $c$ dans l’équation $\phi (x,y,c)=0.$ Donc pour avoir les coordonnées de cette intersection, c’est-à-dire du point $\mathrm {M} ,$ il faut résoudre simultanément les deux équations

$\phi (x,y,c)=0,\quad \phi (x,y,c)+{\frac {\operatorname {d} .\left\{\phi (x,y,c)\right\}}{\operatorname {d} c}}\operatorname {d} c=0.\qquad$^[1]

3. On en conclut ordinairement que, la première réduisant la seconde, elles peuvent être remplacées par le système de ces deux-ci :

$\phi (x,y,c)=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} .\left\{\phi (x,y,c)\right\}}{\operatorname {d} c}}=0\,;$

mais cette simplification, employée inconsidérément, peut quelquefois faire négliger des racines communes, c’est ce qui aurait lieu, par exemple, si on l’appliquait à l’équation

$\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}-x+c=0,$

qui représente un cercle, d’un rayon constant $=r,$ ayant son centre en un point déterminé de l’axe des $x.$ En la différentiant par rapport à $c,$ on trouve $1=0$ d’où l’on serait tenté de conclure que deux

1. On trouve ce point de doctrine nettement déduit de la série de Taylor, sans considération d’infiniment petits, ou autres équivalentes, à la page 361 du III.^e vollume du présent recueil.
   J. D. G.