loppes la démonstration de l’existence des solutions particulières, dans certaines équations différentielles, et à les déterminer, sans résoudre les équations dont elles dérivent. Quoiqu’en général il soit peu important d’obtenir, par de nouveaux moyens des résultats déjà connus, j’ai pensé que néanmoins une méthode géométrique pourrait offrir quelque intérêt, parce que souvent elle rend sensibles des raisonnemens difficiles à saisir, et que d’ailleurs elle m’a conduit à plusieurs conséquences importantes qui, je crois, n’ont point encore été signalées.
Pour exposer convenablement la théorie que j’ai en vue, je suis obligé de rappeler succinctement les propriétés déjà connues des lignes enveloppes.
1. Soit une équation quelconque à deux variables, renfermant un paramètre arbitraire ; on peut toujours imaginer une ligne (fig. 1), rapportée à deux axes rectangulaires, telle que, pour une valeur déterminée du paramètre les coordonnées de chacun de ses points satisfassent à l’équation Généralement cette ligne changera de figure et de situation par rapport aux axes, quand on fera varier la valeur du paramètre ainsi, elle pourra devenir successivement lors qu’on remplacera par On appelle enveloppe des lignes représentées par l’équation une ligne tangente commune à toutes celles qu’on peut obtenir en faisant varier la valeur de depuis l’infini positif jusqu’à l’infini négatif ; et les lignes qu’elle touche, toutes en sont dites les enveloppées.
2. Soient deux enveloppées consécutives, dont les équations sont respectivement et elles différent d’autant moins de forme et de position que la différence est plus petite ; et, si l’on vient à la supposer tout à fait nulle, la branche de la seconde viendra se confondre avec la branche de la première ; d’où il suit qu’à mesure que
