Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/335

325

RÉSOLUES.

ce qui démontre la proposition annoncée.

Cette proposition peut au surplus être immédiatement prouvée comme il suit. En représentant par $A$ et $A'$ les demi-premiers axes de l’ellipse et de l’hyperbole les distances du centre aux points d’intersection de l’axe des $x$ avec la tangente à la première courbe et avec la normale à la seconde seront, comme l’on sait

${\frac {A^{2}}{x}},\qquad {\frac {\left(A'^{2}+B'^{2}\right)x}{A'^{2}}}$

ou bien

${\frac {B^{2}+c^{2}}{x}},\qquad {\frac {c^{2}x}{c^{2}-B'^{2}}}\,;$

mais, au moyen des équations (1, 2), on trouve pour l’abscisse du point d’intersection des deux courbes

$x={\frac {\sqrt {\left(B^{2}+c^{2}\right)\left(c^{2}-B'^{2}\right)}}{c}}\,;$

or, en subsituant cette valeur dans les deux expressions ci-dessus elles deviennent également

$c{\sqrt {\frac {B^{2}+c^{2}}{c^{2}-B'^{2}}}}=c{\frac {A}{A'}}\,;$

donc la normale à l’byperbole, à l’intersection des deux courbes, coïncide avec la tangente à l’ellipse au même point, d’où il suit que les deux courbes se coupent perpendiculairement en ce point.

Nous venons de trouver pour l’abscisse du point d’intersection des deux courbes

$x={\frac {\sqrt {\left(c^{2}+B^{2}\right)\left(c^{2}-B'^{2}\right)}}{c}}={\frac {AA'}{c}}\,;$

en substituant cette valeur dans l’une quelconque des équationas (1, 2), on tirera