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QUESTIONS

Une ellipse et une hyperbole qui ont le même centre et les foyers communs se coupent toujours perpendiculairement.

Ce théorème peut aisément se démontrer comme il suit. Soit $c$ l’excentricité commune ; les équations des deux courbes rapportées à leurs diamètres principaux seront

${\begin{array}{llr}B^{2}x^{2}+\left(B^{2}+c^{2}\right)y^{2}&=B^{2}\left(B^{2}+c^{2}\right),\qquad &(1)\\B'^{2}x^{2}-\left(c^{2}-B'^{2}\right)y^{2}&=B'^{2}\left(c^{2}-B'^{2}\right)\,;\qquad &(2)\end{array}}$

d’où on tirera, par différentiation

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {B^{2}x}{\left(B^{2}+c^{2}\right)y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=+{\frac {B^{2}x}{\left(c^{2}-B^{2}\right)y}}\,;$

de sorte qu’en représentant par $z'$ et $z''$ les tangentes tabulaires des inclinaisons des deux courbes sur l’axe des $x,$ il viendra

$z'=-{\frac {B^{2}x}{\left(B^{2}+c^{2}\right)y}},\qquad z''=+{\frac {B^{2}x}{\left(c^{2}-B^{2}\right)y}}.$

En éliminant $B^{2}$ et $B'^{2}$ entre ces formules et les équations (1, 2), il viendra

${\begin{aligned}&xyz'^{2}\ +\left(x^{2}-y^{2}-c^{2}\right)z'\,-xy=0,\\&xyz''^{2}+\left(x^{2}-y^{2}-c^{2}\right)z''-xy=0,\end{aligned}}$

donc, pour un point $(x,y)$ d’intersection des deux courbes, $z'$ et $z''$ dont racines de la même équation du second degré

$z^{2}+{\frac {x^{2}-y^{2}-c^{2}}{xy}}z-1=0\,;$

d’où il suit qu’on doit avoir

$z'z''=-1,\quad$ou$\quad 1+z'z''=0$