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QUESTIONS

L’équation de l’autre courbe, rapportée aux mêmes axes que la première, lesquels en seront les asymptotes, sera

$xy=B^{2}.$

Soit $z'$ la tangente tabulaire de l’angle que forme cette courbe ou sa tangente avec l’axe des $x,$ on aura

$z'={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {y}{x}}.$

Au point d’intersection, $x$ et $y$ seront les mêmes dans les deux courbes, d’où il suit qu’on aura alors

$zz'={\frac {x}{y}}\left(-{\frac {y}{x}}\right)=-1,\quad$ou$\quad 1+zz'=0,$

ce qui démontre la proposition annoncée.

Ce théorème n’est au surplus qu’un cas particulier du suivant ;

Une hyperbole étant donnée, si l’on en construit une autre dont les asymptotes soient dirigées suivant deux quelconques de ses diamètres, et que sur les mêmes diamètres comme conjugués, on construise une ellipse, les tangentes aux deux hyperboles à leur point d’intersection seront parallèles à un même système de cordes supplémentaires de cette ellipse, construites sur l’un ou l’autre de ces deux diamètres.

Si en effet on prend le diamètre transverse de la première hyperbole pour axe des $x$ et son conjugué pour axe des $y,$ l’équation de cette hyperbole sera

$B^{2}x^{2}-A^{2}x^{2}=A^{2}B^{2}\,;$

et l’équation de l’autre sera

$xy=C^{2}.$