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QUESTIONS

Solution partielle du problème de géométrie énoncé
à la page 288 du XII^e volume du présent recueil ;

MM. A. L. Boyer et Ch. Sturm.

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PROBLÈME. Déterminer, en fonction des quatre côtés d’un quadrilatère rectiligne inscrit au cercle, 1.^o l’angle de deux côtés opposés ; 2.^o l’angle des deux diagonales ?

Solution. Soient, comme dans le mémoire de la page 269 du XII^e volume, $a,b,c,d$ les quatre côtés consécutifs du quadrilatère, et $x,y$ les deux diagonales ; la première se terminant aux sommets $(a,b),(c,d),$ et la seconde aux sommets $(b,c),(a,d)\,;$ on aura, comme alors,

$x^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}},\qquad y^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ad+bc}}\,;$

en outre, en posant

${\begin{aligned}&b+c+d-a=A,\\&c+d+a-b=B,\\&d+a+b-c=C,\\&a+b+c-d=D,\end{aligned}}$

nous aurons

$\operatorname {Sin} .(a,d)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ad+bc)}},\qquad \operatorname {Sin} .(a,b)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ab+cd)}}\,;$