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QUESTIONS

$y={\frac {a}{2}}\left\{\left({\frac {k-h}{k+h}}\right)^{\frac {k-h}{k}}-\left({\frac {k-h}{k+h}}\right)^{\frac {k+h}{k}}\right\}\qquad$(32)

Si enfin on désigne par $B$ l’angle que fait la direction de la barque au moment d’arrivée ou $x=0,$ avec la perpendiculaire à la direction du courant, on aura $\operatorname {Tang} .B=\infty ,$ ou $B={\frac {1}{2}}\varpi ,$ à moins pourtant qu’on ait $k=h.$

Mais cette dernière hypothèse ne saurait être admise dans la pratique. En effet l’équation (28) devient, dans ce cas

$x^{2}=2a({\frac {1}{2}}a-y)$

équation d’une parabole qui a pour foyer le point où on veut atteindre et pour paramètre le double de la largeur du fleuve ; d’où l’on voit que, si la force d’impulsion des rames n’était que rigoureusement égale à la force d’impulsion du courant ; la barque arriverait au dessous du point désigné, à une distance de ce point égale à la moitié de la largeur du fleuve.

Continuons donc de supposer $k>h\,;\ g$ étant toujours nul, et conséquemment $n=-{\frac {h}{k}}$ la formule (20) donnera alors

$t={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{k-h}}\left[1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {k-h}{k}}\right]+{\frac {1}{k+h}}\left[1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {k+h}{k}}\right]\right\}.\qquad$(33)

Pour avoir donc le temps employé à traverser le fleuve, il faudra, dans cette formule, faire $x=0,$ ce qui donnera

$t={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{k-h}}+{\frac {1}{k+h}}\right\}={\frac {a}{2}}.{\frac {2k}{k^{2}-h^{2}}}={\frac {ka}{k^{2}-h^{2}}}\,;$