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DES POLYNOMES.

$a,b,c,\ldots$ et dont tous les termes seront affectés du coefficient $m+n\,;$ de sorte qu’on aura

$S=(m+n)S',$

$S'$ étant un pareil polynome dans lequel tous les coefficiens sont égaux à l’unité. D’où l’on voit qu’avant les réductions $S$ devait avoir $m+n$ fois autant de termes que $S'.$

Présentement si, dans $S',$ on fait une des lettres $a,b,c\ldots ,\ a,$ par exemple égale à l’unité, le nombre de ses termes n’en sera pas changé ; mais il deviendra alors évidemment un polynome complet du $m$^me degré, formé des $n-1$ lettres $b,c,d,\ldots ,$ dont le nombre des termes devra être exprimé par $\phi (m,n-1)\,;$ dont tel était aussi le nombre des termes de $S'$ avant d’avoir fait $a=1\,;$ d’où il suit qu’avant toutes réductions le nombre des termes de $S$ devait être

$(m+n)\phi (m,n-1).$

puis donc que nous venons de trouver, tout à l’heure, que le nombre de ces termes devait être

$n\phi (m,n),$

il s’ensuit qu’on doit avoir

$n.\phi (m,n)=(m+n).\phi (m,n-1).\qquad$(2)

Si l’on considère présentement que cette dernière équation doit avoir lieu quel que soit le nombre entier $n,$ en observant d’après la nature de la fonction $\phi ,$ on doit avoir $\phi (m,1)=m+1,$ on pourra écrire cette suite d’équations

$n\phi (m,n)=(m+n).\phi (m,n-1),$

$(n-1)\phi (m,n-1)=(m+n-1).\phi (m,n-2),$