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DE M. DE STAINVILLE.

${\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {n-3}{3}}={\frac {n-2}{3}},$

 

et réduisant, il viendra

${\begin{array}{r}\operatorname {f} _{n}(a).\operatorname {f} _{0}(b),\\{\frac {n}{1}}.\operatorname {f} _{n-1}(a).\operatorname {f} _{1}(b),\\\\{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.\operatorname {f} _{n-2}(a).\operatorname {f} _{2}(b),\\\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {f} _{2}(a).\operatorname {f} _{n-2}(b),\\\\{\frac {n}{1}}.\operatorname {f} _{1}(a).\operatorname {f} _{n-1}(b),\\\\+\operatorname {f} _{0}(a).\operatorname {f} _{n}(b),\end{array}}$

qui est précisément le coefficient de ${\frac {x^{n}}{n!}}\,;$ notre loi est donc générale.

Il sera donc facile, dans tous les cas, de déterminer le produit de nos deux séries, sans exécuter la multiplication, puisqu’on connaît le premier terme $\operatorname {f} _{0}(a).\operatorname {f} _{0}(b)$ de ce produit, et qu’on sait en déduire un terme quelconque de celui qui le précède immédiatement.

Supposons, par exemple, que les deux fonctions semblables $\operatorname {f} _{0}(a),\operatorname {f} _{0}(b)$ soient l’une et l’autre égales à l’unité ; d’après les définitions (2 et 4), et en observant que $1$ reste toujours $1,$ soit qu’on change $a$ en $a+k$ ou $b$ en $b+k,$ il est clair que nos deux séries deviendront

$\operatorname {F} (a)=1+a{\frac {x}{1}}+a(a+k){\frac {x^{2}}{2!}}+a(a+k)(a+2k){\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots ,\qquad$(9)

$\operatorname {F} (b)=1+b{\frac {x}{1}}+b(b+k){\frac {x^{2}}{2!}}+b(b+k)(b+2k){\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots ,\qquad$(10)