GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration d’un théorème de géométrie ;
THÉORÈME. L’aire de la projection d’une figure plane quelconque sur un plan, situé comme on le voudra par rapport au sien, est égale à l’aire de cette figure même, multipliée par le cosinus tabulaire de son inclinaison sur le plan de projection.
Démonstration. Toute figure plane étant polygone rectiligne ou limite de polygone rectiligne, la proposition sera vraie pour toute figure plane, si elle est vraie pour un polygone rectiligne quelconque.
Imaginons le polygone décomposé en triangles par des diagonales ; les projections de ces triangles seront les triangles résultant de la décomposition de la projection du polygone par des diagonales, projections de celles du polygone lui-même ; et, comme les inclinaisons des plans de ces triangles les uns sur les autres ne seront autre chose que l’inclinaison du plan du polygone sur celui de sa projection, il est clair que la proposition sera vraie, si elle l’est pour chaque triangle, comparé à sa projection ; d’où l’on voit que tout se réduit à prouver que la projection de l’aire d’un triangle sur un plan quelconque, différent du sien est égale à l’aire de ce triangle, multipliée par le cosinus tabulaire de l’inclinaison de son plan sur celui de sa projection.
Et comme, excepté le cas où les deux plans sont parallèles, pour lequel la proposition est évidente, les deux plans forment toujours un angle dièdre, tout se réduit à démontrer que l’aire de la projection sur l’une des faces d’un angle dièdre d’un triangle tracé sur l’autre face est égale à l’aire de ce dernier, multipliée par le cosinus tabulaire de l’angle dièdre dont il s’agit.
