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DIFFÉRENCES MÊLÉES.

${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} z}}\left\{g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}}\right\}\,;$

égalant donc ces deux valeurs de ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} z}},$ on aura

$\phi '\left\{g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}}+{\frac {2}{g}}\right\}-{\frac {2g'}{g^{2}}}\phi +{\frac {2kg'}{g^{2}}}-{\frac {2k'}{g}}=0.$

Posons

${\begin{array}{rll}R&={\frac {-{\frac {2g'}{g^{2}}}}{g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}}+{\frac {2}{g}}}}&={\frac {-g'}{g^{3}+(-1)^{z}.g^{2}.{\sqrt {1+g^{2}}}+2g}},\\\\V&={\frac {{\frac {2kg'}{g^{2}}}-{\frac {2k'}{g}}}{g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}}+{\frac {2}{g}}}}&={\frac {2kg'-2gk'}{g^{3}+(-1)^{z}.g^{2}.{\sqrt {1+g^{2}}}+2g}},\end{array}}$

alors la valeur de $\phi$ dépendra de l’équation linéaire du premier ordre

$\phi '+R\phi +V=0\,;$

d’où on tirera, en intégrant,

$\phi =-e^{-\int R\operatorname {d} z}\left\{\int Ve^{\int R\operatorname {d} z}+C\right\},$

$C$ étant une constante arbitraire. Cette équation jointe à l’équation

$\phi =-{\frac {g}{2}}\psi +k,$

donnera, pour résoudre le problème, deux équations en $\phi ,\psi ,z$ ou en $x,y,z,$ renfermant deux fonctions arbitraires à différence nulle, et en outre une constante arbitraire.

Par la difficulté d’intégrer les équations du problème, dans les deux cas particuliers que nous venons de traiter, et par la complication des résultats, on peut juger des obstacles que présenterait l’intégration dans le cas général. Toutefois nous osons croire que l’essai qui précède sera reçu avec quelque indulgence par les géomètres qui savent combien est peu avancée encore la théorie des équations aux différences mêlées.