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MÊLÉES.

$u=-{\frac {1}{u_{1}}}\quad$et$\quad -{\frac {1}{u}}=u_{1}\,;$

on a donc

$2u+\Delta u=g,$

$g$ étant une fonction de $z$ dont la différence est nulle ; d’où l’on tire, en intégrant, par la méthode connue,

$u={\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}=g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}}.$

Revenant ensuite à l’équation

$\psi _{1}-\psi =\left(\phi _{1}-\phi \right).{\frac {2\operatorname {d} \psi .\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \phi ^{2}-\operatorname {d} \psi ^{2}}}\,;$

elle pourra être mise sous la forme

$\phi _{1}-\phi ={\frac {\psi _{1}-\psi }{2}}\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \psi }}-{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}\right)$

puis donc qu’on a ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}=u,$ elle deviendra

$\phi _{1}-\phi ={\frac {\psi _{1}-\psi }{2}}\left({\frac {1}{u}}-u\right)=-{\frac {\psi _{1}-\psi }{2}}g\,;$

donc

$\phi =-{\frac {g}{2}}\psi +k,$

$k$ étant une fonction arbitraire de $z$ dont la différence est nulle.

Il reste donc à obtenir une seconde intégrale. Pour cela, nous donnerons à celle que nous venons d’obtenir la forme suivante

$\psi =-{\frac {2}{g}}\phi +{\frac {2k}{g}},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} z}}={\frac {2g'}{g^{2}}}\phi -{\frac {2}{g}}\phi '-{\frac {2kg'}{g^{2}}}+{\frac {2k'}{g}}\,;$

mais on a, comme nous l’avons vu tout à l’heure,

${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}=g+(-1)^{z}{\sqrt {1+g^{2}}},$

d’où