Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/272

264

DIFFÉRENCES

et où, par conséquent, les tangentes en $(x,y)$ et $(x',y')$ sont perpendiculaires l’une à l’autre.

Posons encore

$y=\operatorname {f} (x)\quad$et$\quad p=\operatorname {f} '(x)\,;$

nos deux équations deviendront

${\frac {\operatorname {f} (x+\Delta x)-\operatorname {f} (x)}{\Delta x}}={\frac {2\operatorname {f} '(x)}{1-\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}},\qquad \operatorname {f} '(x)=-{\frac {1}{\operatorname {f} '(x+\Delta x)}}.$

Posons ensuite $x=\phi (z),\ \phi$ étant une fonction de la variable indépendante $z$ de telle forme qu’on ait

$x+\Delta x=\phi (z+1).$

Posons enfin $y=\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} \left[\phi (z)\right]=\psi (z)\,;$ nous aurons, comme ci-dessus

$\operatorname {f} '(x)={\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }},\qquad \operatorname {f} '(x+\Delta x)={\frac {\operatorname {d} \psi _{1}}{\operatorname {d} \phi _{1}}}\,;$

au moyen de quoi nos deux équations deviendront

$\psi _{1}-\psi =\left(\phi _{1}-\phi \right).{\frac {2\operatorname {d} \psi .\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \phi ^{2}-\operatorname {d} \psi ^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}=-{\frac {1}{\cfrac {\operatorname {d} \psi _{1}}{\operatorname {d} \phi _{1}}}}.$

Soit ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \phi }}=u\,;$ la deuxième équation deviendra $uu_{1}=-1,$ et pourra s’intégrer. En effet, remplaçant $u_{1}$ par $u+\Delta u,$ elle deviendra $u^{2}+u\Delta u=-1,$ d’où $u+\Delta u=-1{\frac {1}{u}},$ et par suite

$2u+\Delta u=u-{\frac {1}{u}}.$

Or, la différence du second membre est nulle ; car, si $z$ se change en $z+1,$ il devient $-{\frac {1}{u_{1}}}+u_{1},$ qui est la même chose que $-{\frac {1}{u}}+u,$ puisque l’équation $uu_{1}=-1$ donne