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DIFFÉRENCES

$\Delta x=C.{\frac {1-\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}{\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}}.$

en mettant cette valeur dans l’équation (5), „ elle devient

$\operatorname {f} \left\{x+C.{\frac {1-y'^{2}}{y'^{2}}}\right\}-y={\frac {2C}{y'}},\qquad$(A)

où, pour plus de simplicité, nous avons mis $y$ et $y'$ pour $\operatorname {f} (x)$ et $\operatorname {f} '(x).$

Posons $x=\phi (z),\ \phi$ étant une fonction de la variable indépendante $z$ de telle forme qu’on ait

$x+C.{\frac {1-y'^{2}}{y'^{2}}}=\phi (z+1).\qquad$(B)

Posons encore $y=\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} \left[\phi (z)\right]=\psi (z)\,;$ puisque $y'={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ nous aurons aussi $y'={\frac {\operatorname {d} .\psi (z)}{\operatorname {d} .\phi (z)}}\,;$ au moyen de quoi les équations (A et B) deviendront, en n’écrivant, pour plus de simplicité, que les caractéristiques des fonctions,

${\begin{array}{lr}\psi _{1}-\psi =2C{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \psi }},&\mathrm {(A')} \\\\\phi _{1}-\phi =C\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \psi }}\right)^{2}-C,&\mathrm {(B')} \end{array}}$

Cela posé, l’équation, $\operatorname {f} '(x)=\operatorname {f} '(x+\Delta x)$ prouve que ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}$ ne change pas, lorsque $x$ se change en $x+\Delta x,$ ce qui prouve que ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \psi }}$ ne doit pas changer non plus, lorsque $z$ devient $z+1.$ Donc ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \psi }}$ est égal à une fonctibn arbitraire $g,$ qui ne change pas, lorsque $z$ devient $z+1\,;$ de sorte qu’on a