Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/247

239

DES COSINUS.

$(2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},$

où $n$ peut être quelconque.

2.^o Si $k$ est impair, il existe toujours une valeur entièrement réelle, exprimée par

$(2\operatorname {Cos} .x)_{\frac {k-1}{2}}^{\frac {1}{k}}=-P_{\frac {1}{2}}.$

le reste des $k$ valeurs est de la forme

$(2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},$

où $n$ peut être quelconque.

En outre, pour tous les cas possibles d’un cosinus négatif, on a toujours la relation

$P_{0}\operatorname {Sin} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi =Q_{\frac {1}{2}}=0.$

19.

Les équations

$Q_{0}=\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots =0,$

pour $\operatorname {Cos} .x$ positif, et

$Q_{\frac {1}{2}}=\operatorname {Sin} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \pi )+\ldots =0,$

pour $\operatorname {Cos} .x$ négatif, lesquelles subsistent pour toutes les valeurs possibles de $x,$ expriment des théorèmes trigonométriques remarquables par leur généralité et par leur simplicité. Si l’on (développe la première, elle donne

$\operatorname {Tang} .mx={\frac {{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .2x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .4x+\ldots }{1+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .2x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .4x+\ldots }}\,;$

de sorte que, pour $x={\frac {1}{4}}\varpi ,$ on aurait