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PUISSANCES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$(2\operatorname {Cos} .x)_{({\frac {1}{4}}k)}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{0}$

dans le seul cas où $k$ est un multiple de $4.$

Le surplus des $k$ valeurs $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ s’expriment toujours par

$(2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},$

où l’on peut donner à $n$ toutes les valeurs entières et positives autres que celles qui répondent aux cas particuliers que nous venons d’examiner, savoir, $0$ pour tous les cas, $0$ et ${\frac {1}{2}}k$ pour $k$ pair, et enfin $0,{\frac {1}{2}}k$ et ${\frac {1}{4}}k$ pour $k$ multiple de $4.$

À quoi il faut ajouter que, pour tous les cas possibles d’un cosinus positif, on a toujours

$Q_{0}=0.$

II. Dans le cas de $\operatorname {Cos} .x$ négatif,

1.^o Si $k$ est pair, il n’existe, parmi les $k$ valeurs de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ que deux valeurs purement imaginaires, exprimées par

$(2\operatorname {Cos} .x)_{{\frac {k-2}{4}}{\text{ et }}{\frac {3k-2}{4}}}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}},$

si $k-2$ est un multiple de $4,$ le reste des $k$ valeurs est de la forme

$(2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},$

où l’on peut mettre pour $n$ tous les nombres entiers, depuis $0$ jusqu’à $k,$ excepté les deux nombres ${\frac {k-2}{4}}$ et ${\frac {3k-2}{4}}.$

Pour toutes les autres valeurs paires de $k,$ pour lesquelles $k-2$ n’est pas un multiple de $4,$ il n’existe ni valeurs entièrement réelles ni valeurs purement imaginaires de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}.$ Toutes les $k$ valeurs sont alors de la forme