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DES COSINUS.

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {k-2}{2}}\varpi \right)$

$=\pm \operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm \varpi )=\pm \operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi ),$

$\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {k-2}{2}}\varpi \right)$

$=\pm \operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm \pi )=\pm \operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi ),$

 

donc la quantité $Q_{n}$ se réduit, dans le cas actuel, à

$Q_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm \left\{\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi )+\ldots \right\}=\pm P_{\frac {1}{2}}$

d’où résulte

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}}\,;$

ce qui donne les deux valeurs purement imaginaires de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ qui existent, dans le cas où $k-2$ est un multiple de $4,\ \operatorname {Cos} .x$ étant négatif. La quantité $P_{n}$ ou $P_{{\frac {1}{4}}(k-2)},$ qui doit s’évanouir dans ce cas, s’obtiendra, en substituant la valeur ${\frac {k-2}{4}}$ de $n$ dans tous les termes qui la composent. Sans faire ici le calcul, qui ne serait qu’une répétition de celui que nous avons fait plus haut, il nous suffira de dire qu’on trouve définitivement

$P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm \left\{\operatorname {Sin} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \varpi )+\ldots \right\}=\pm Q_{\frac {1}{2}}\,;$

il vient alors, en développant,