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DES COSINUS.

les valeurs possibles de $k$ (16) se trouvent sur-le-champ ; car, pour ces valeurs, $n$ étant égal à zéro, elles ne seront autre chose que $\pm P_{0},$ de sorte qu’on aura

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm P_{0}.$

L’ambiguïté du signe tient à ce que la valeur est nécessairement double si $k$ est un nombre pair. Si $k$ au contraire est impair, le signe $+$ a seul lieu. Car l’expression de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ étant toujours soumise aux mêmes conditions que l’expression $(\pm 1)^{\frac {1}{k}},$ ce qui revient, pour le cas actuel (9), à

$(+1)^{\frac {1}{k}}=\operatorname {Cos} .{\frac {2n\pi }{k}}\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2n\pi }{k}},$

il est aisé de voir que cette dernière expression donne toujours une couple de valeurs toute réelles, ne différant que par le signe, pour $2n=0$ et $2n=k\,;$ car ce sont les valeurs de $n$ pour lesquelles $\operatorname {Sin} .{\frac {2n\varpi }{k}}$ est égal à zéro. En effet, ce sont les mêmes valeurs déjà trouvées (13), pour le cas de $Q_{n}=0\,;$ et, puisqu’il y a deux valeurs entièrement réelles pour $(+1)^{\frac {1}{k}},$ en supposant $2n=0$ et $2n=k,$ il y a aussi nécessairement deux valeurs réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ pour les mêmes cas. Mais $2n=k$ suppose $k$ pair. Si $k$ est impair, on n’a pas $2n=k,$ puisque $n$ doit toujours être un nombre entier. Dans ce dernier cas, on peut donc seulement mettre $2n=0,$ et il n’existe que la valeur positive. Donc il n’y a que deux valeurs entièrement réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ ne différant que par le signe, si $k$ est pair. Elles sont, comme on vient de le voir, égales à $\pm P_{0}.$ Si $k$ est impair, il n’existe que la valeur $+P_{0}$ seule.

Au reste, puisqu’il existe toujours une ou deux valeurs entiè-