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PUISSANCES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{0}\,;$

d’où l’on voit que, pour $\operatorname {Cos} .x$ positif et $k$ multiple de $4,$ il existe toujours deux valeurs purement imaginaires de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ ne différant que par le signe, et dont la valeur commune absolue est ${\sqrt {-1}}P_{0}.$

Si l’on voulait savoir à quoi se réduit alors la quantité $P_{\frac {1}{4}}k,$ que nous avons dit devoir s’évanouir dans ce cas, il faudrait faire également $n={\frac {k}{4}}$ ou $2n={\frac {k}{2}},$ dans tous les termes dont $P_{n}$ est composé ; on trouverait ainsi successivement

$\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)$

$=\operatorname {Cos} .\left({\frac {x}{k}}\pm {\frac {1}{2}}\varpi \right)=\pm \operatorname {Sin} .{\frac {x}{k}}=\pm \operatorname {Sin} .mx,$

$=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)$

$=\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {1}{k}}-2\right)x\pm \left({\frac {1}{2}}-k\right)\varpi \right]=\pm \operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)x=\pm \operatorname {Sin} .(m-2)x,$

En conséquence la valeur de $P_{n},$ qui est alors $P_{{\frac {1}{4}}k},$ deviendra

$P_{{\frac {1}{4}}k}=\pm \left\{\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \right\}=\pm Q_{0}\,;$

d’où l’on voit que, pour le cas de $\operatorname {Cos} .x,$ positif et de $k$ multiple de $4\,;$ on doit avoir $Q_{0}=0.$

2.^o Les valeurs toutes réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ qui répondent à toutes