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PUISSANCES

13.

Nous remarquerons d’abord que le nombre des valeurs différentes de ${\frac {2n}{k}}\pi ,$ et de ${\frac {1\pm 2n}{k}},$ et conséquemment de $n,$ ne pourra jamais être plus grand que le nombre $k\,;$ car le nombre des valeurs différentes de la quantité $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ ou de $\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\pi ),$ $\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\pi ),\ldots ,$ $\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\pi ),$ $\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\pi ),\ldots ,$ correspondant à ces valeurs, étant toujours égal au nombre $k,$ le nombre des valeurs de $n$ sera aussi égal à ce nombre, en commençant par zéro, et en parcourant tous les nombres entiers. Donc $n$ ne sera pas plus grand que $k.$

Il suit de là qu’on aura

I. Pour $\operatorname {Cos} .x$ positif.

1. $A_{n}=0$ seulement pour ${\frac {2n}{k}}={\frac {1}{2}}$ et ${\frac {3}{2}},$ ou pour $2n={\frac {1}{2}}k$ et ${\frac {3}{2}}k\,;$

2. $B_{n}=0$ seulement pour ${\frac {2n}{k}}=0$ et $1$ ou pour $2n=0$ et $k\,;$

puisque $2n$ ne doit pas surpasser $2k.$

II. Pour $\operatorname {Cos} .x$ négatif.

1. $A_{n}=0$ seulement pour ${\frac {1\pm 2n}{k}}={\frac {1}{2}}$ et ${\frac {3}{2}},$ ou pour $2n={\frac {1}{2}}k$ et ${\frac {3}{2}}k\,;$

2. $B_{n}=0$ seulement pour ${\frac {1\pm 2n}{k}}=1$ et $2$ ou pour $2n=k-1$ et $2k-1\,;$

car, $n$ ne pouvant être fractionnaire, les valeurs $2n=\pm (0k-1)$ n’existent pas. De plus $2n$ ne pouvant surpasser le nombre $2k,$