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DES COSINUS.

racines de même forme ou, ce qui est la même chose, si l’on met $x=0$ et $x=\varpi$ dans l’expression générale de $(\operatorname {Cos} .x)^{m},$ et qu’ensuite on cherche les valeurs de $n$ pour lesquelles cette expression prend les formes $A_{n},\pm {\sqrt {-1}}B_{n}$ ou $A_{n}\pm {\sqrt {-1}}B_{n}.$

12.

Puisque, lorsque $\operatorname {Cos} .x$ est positif

$A_{n}=\operatorname {Cos} .2mn\pi =\operatorname {Cos} .{\frac {2n}{k}}\pi ,\qquad B_{n}=\operatorname {Sin} .2mn\pi =\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{k}}\pi \,;$

tandis que, lorsque $\operatorname {Cos} .x,$ est négatif

$A_{n}=\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi =\operatorname {Cos} .{\frac {1\pm 2n}{k}}\pi ,$

$B_{n}=\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi =\operatorname {Sin} .{\frac {1\pm 2n}{k}}\pi ,$

il s’ensuit que, dans le cas où $\operatorname {Cos} .x$ est positif, on aura

$A_{n}=0,$ si l’on fait ${\frac {2n}{k}}={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots$

$B_{n}=0,$ si l’on fait ${\frac {2n}{k}}=0,1,2,3,\ldots$

et que, dans le cas où $\operatorname {Cos} .x$ est au contraire négatif, on aura

$A_{n}=0,$ si l’on fait ${\frac {1\pm 2n}{k}}={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots$

$B_{n}=0,$ si l’on fait ${\frac {1\pm 2n}{k}}=0,1,2,3,\ldots$

on pourra aisément trouver par là, pour chaque valeur de $k,$ les valeurs correspondantes de $n$.