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DES COSINUS.

C’était là sans doute un grand pas vers l’explication du paradoxe ; car une grande partie de la difficulté consistait en ce qu’on ne voyait pas comment la formule

$(\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\pm {\sqrt {-1}}Q,$

pourrait donner plusieurs valeurs différentes pour $P\pm {\sqrt {-1}}Q,$ et seulement une valeur unique pour $(\operatorname {Cos} .x)^{m}.$ L’heureuse idée de M. Poisson de mettre $x+2n\varpi$ au lieu de $x,$ ce qui est toujours permis, puisque les expressions $\operatorname {Cos} .x$ et $\operatorname {Cos} .(x+2n\varpi )$ sont identiques, lève entièrement cette partie de la difficulté.

5.

Mais il faut avouer que la question n’était pas encore complètement éclaircie, puisqu’on ne voyait pas encore comment, pour une valeur quelconque de $x,$ la formule générale $P\pm {\sqrt {-1}}Q,$ pourrait donner tantôt une quantité réelle et tantôt une quantité imaginaire. Les travaux de M. Deflers, dont on trouve une notice dans le troisième volume de la nouvelle édition du Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix (page 606) et ceux de M. Plana, dans le XI.^e volume des Annales de mathématiques (page 84) ne semblent pas lever toutes les difficultés ; et il reste encore à faire voir comment la formule générale $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\pm {\sqrt {-1}}Q.$ s’applique à tous les cas, et sur-tout à trouver les valeurs du nombre $n$ dans $x+2n\varpi ,$ auxquelles correspondent les valeurs purement imaginaires et les valeurs purement réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$^[1].

Tel est, principalement le but que je me propose dans cet écrit.

1. On peut encore consulter, sur le même sujet, un mémoire de M. Pagani Michel, inséré à la page 94 du présent volume.
   J. D. G.