Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/221

213

PUISSANCES DES COSINUS.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Solution d’une difficulté connue que présente la théorie
des fonctions angulaires, relativement au développement
des puissances fractionnaires des cosinus ;

Par M. Crelle, docteur en philosophie, membre
du conseil supérieur des bâtimens civils de Prusse.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

1.

On a

$2\operatorname {Cos} .x=\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\,;$

mais

$\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=1\,;$

d’où

$\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x={\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;$

donc

$2\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x+{\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;$

Si donc, pour abréger, on pose

$\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x=u,$

on aura