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RÉSOLUES.

$CercleZX=\varpi x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,$

$\mathrm {C{\hat {o}}ne\ OZX} ={\frac {1}{3}}\varpi .{\frac {x^{3}\operatorname {Sin} .^{3}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}t\operatorname {Cos} .t}{\operatorname {Sin} .^{3}t}},$

$Segm.VXZ={\frac {1}{3}}\varpi .{\frac {x^{3}\operatorname {Sin} .^{3}\alpha }{\operatorname {Sin} .^{3}t}}(1-\operatorname {Cos} .t)^{2}(2+\operatorname {Cos} .t).$

Si donc on veut que le corps engendré par la révolution de la génératrice $\mathrm {VXA.}$ détache du cône une portion équivalente au volume d’une sphère dont le rayon donné est $r$, on devra avoir

$\left(a^{3}-x^{3}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {x^{3}\operatorname {Sin} .^{3}\alpha }{\operatorname {Sin} .^{3}t}}(1-\operatorname {Cos} .t)^{2}(2+\operatorname {Cos} .t)=4\varpi r^{3}\,;$

équation qui détermine chacune des deux indéterminées $x$ et $t$ au moyen de l’autre, et de laquelle on tire, en particulier,

$x=\operatorname {Sin} .t{\sqrt[{3}]{\frac {4r^{3}-a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{\left[2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )\right]\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}}\,;$

de sorte qu’en posant, pour abréger,

$b={\sqrt[{3}]{\frac {4r^{3}-a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\alpha }}},$

on aura simplement

${\frac {x}{\operatorname {Sin} .t}}={\frac {b}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )}}}.$

Cela posé, la surface de la zone conique engendrée par $\mathrm {AX}$ est

$\varpi \left(a^{2}-x^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \,;$

en y ajoutant donc la surface de la calotte sphérique, déjà déter-