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QUESTIONS

la base du cône formera une surface discontinue qui remplira toutes les conditions du problème, sauf celle du minimum de surface ; et il ne s’agira plus que de profiter de l’indétermination de la distance du plan coupant à la base du cône, pour faire en sorte que cette dernière condition soit remplie.

Supposons que la figure 10 jeprésente la section du cône par un plan quelconque passant par son axe ; et concevons les mêmes dénominations et notations que ci-dessus. Alors $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {XZ}$ seront les rayons des deux bases du tronc de cône, dont la hauteur sera $\mathrm {CZ}$ ; $\mathrm {ZY}$ sera la flèche du segment sphérique, dont le rayon sera $\mathrm {OX}$ ou $\mathrm {OV}$ ; la droite $\mathrm {AX}$ et l’arc $\mathrm {VX}$ seront les lignes génératrices de la zone conique et de la calotte sphérique ; enfin $\alpha$ sera l’angle générateur du cône, et $t$ sera l’angle générateur d’un autre cône dont il faudra retrancher le volume de celui du secteur sphérique engendre par la révolution du secteur circulaire $\mathrm {VOX}$ pour obtenir le volume du segment sphérique.

Ces choses ainsi entendues, on aura d’abord, pour le volume du tronc de cône engendré par la révolution du trapèze $\mathrm {CAXZ}$,

${\frac {1}{2}}\varpi \left(a^{3}-x^{3}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \,;$

on trouvera ensuite successivement

$Cir.\mathrm {OX} =2\varpi .{\frac {x\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .t}}\,;$

$\mathrm {VZ=OX-OZ} ={\frac {x\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .t}}(1-\operatorname {Cos} .t),$

$Calotte\mathrm {VX} =2\varpi .{\frac {x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }{\operatorname {Sin} .^{2}t}}(1-\operatorname {Cos} .t),$

$\operatorname {Sec} t.\mathrm {VOX} ={\frac {2}{3}}\varpi .{\frac {x^{3}\operatorname {Sin} .^{3}\alpha }{\operatorname {Sin} .^{3}t}}(1-\operatorname {Cos} .t),$