à elles seules pour déterminer l’arc de cercle cherché, qui ne pourra ainsi qu’accidentellement, et dans des cas particuliers seulement, satisfaire à la condition de tangence avec les deux autres côtés de ce triangle. Et si, au contraire, on combine seulement cette dernière condition avec celle qui exige que l’arc de cercle ait pour corde la base du triangle ; cet arc se trouvera encore, par ces deux seules conditions, tout-à-fait déterminé ; de sorte que ce ne pourra être qu’accidentellement, et dans des cas particuliers, qu’il divisera l’aire de ce triangle suivant la raison donnée.
On peut d’ailleurs s’assurer bien facilement, et indépendamment de la méthode des variations, que tout arc de courbe, autre qu’un arc de cercle, ne saurait résoudre le problème. Soient, en effet, la base et le sommet du triangle dont il s’agit (fig. 8) ; et supposons qu’on veuille prétendre que le plus petit des arcs de courbes qui, ayant pour corde commune et pour tangentes communes en et partagent l’aire du triangle en raison donnée, est un certain arc , différent d’un arc de cercle ; en détachant de l’espace un segment plus ou moins grand, par une corde arbitraire , et remplaçant ce segment par un segment de cercle équivalent, ayant la même corde ; l’arc de cercle correspondant, augmenté des arcs restans et de l’autre courbe, formerait une ligne discontinue qui, remplissant d’ailleurs toutes les autres conditions du problème, serait moins longue que la première qui ne jouirait pas conséquemment de la propriété du minimum de longueur, ainsi qu’on l’avait d’abord supposé.
Il est donc absolument hors de doute que la partie de la ligne cherchée non adhérente aux côtés égaux du triangle ne saurait être qu’un arc de cercle ; et dès-lors voici la seule manière dont le problème puisse être résolu. Soit toujours le triangle donné (fig. 9). Soit menée à sa base une parallèle arbitraire , qui en retranche, du côté de cette base, une portion moindre que celle qu’en doit retrancher la ligne cherchée, Sur , comme corde,
