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INTÉGRALES

${\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=0,\ldots \\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'={\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=0,\ldots \end{array}}$

en conséquence, l’équation (III) deviendra

${\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad$ou$\quad {\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}={\frac {1}{0}}=\infty \,;$

le rayon de courbure de la ligne cherchée est donc infini ; cette ligne est donc une droite ; et l’on peut prendre pour son équation

$y=Mx+G,\quad$d’où$\quad y'=M,\ y''=0\,;$

$M$ et $G$ étant des constantes arbitraires.

L’équation aux limites sera ici

${\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}\left(Y_{1}-Y_{0}\right)=0\,;$

d’où l’on voit d’abord que la constante $G,$ qui n’entre pas dans cette équation, demeurera tout-à-fait arbitraire ; ce qui revient à dire que les parties de parallèles interceptées entre d’autres parallèles sont de même longueur.

Les coefficiens de $Y_{0}$ et $Y_{1}$ étant les mêmes, au signe près, on ne saurait établir des conditions distinctes pour l’une et pour l’autre limites ; ce qui revient à dire qu’une droite qui coupe des parallèles fait avec elles des angles égaux.

Si aucune condition n’est prescrite pour l’une et l’autre limites $Y_{0}$ et $Y_{1},$ devront demeurer tout-à-fait indépendans ; on ne pourra