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PROBLÈME

de la quantité $a\,:$ on devra donc avoir, en même temps, $x=a$ et $p=0\,;$ au moyen de quoi l’équation (7) deviendra simplement

$A={\frac {1}{a}},$

valeur qui, substituée dans cette même équation (7), la changera en celle-ci :

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{x}}\left\{p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right\}^{\frac {1}{n}},\quad$ou$\quad p+{\sqrt {1+p^{2}}}=\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}.$

En transposant et faisant disparaître le radical, on tire de cette dernière

$p={\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\,;\qquad$(8)

valeur qui devient également infinie, soit que $x$ soit nul ou bien qu’il soit infini.

On tire de là successivement

$p^{2}={\frac {1}{4}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2n}-2+\left({\frac {a}{x}}\right)^{2n}\right\},$

$1+p^{2}={\frac {1}{4}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}^{2}\,;\qquad$(9)

d’où

${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}={\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$s+B={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.$