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INDÉTERMINÉES.

$Const.=\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]Y_{0}$

$+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]Y_{0}'+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots \right]Y_{0}''+\ldots ,$

$Const.=\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}''-\ldots \right]Y_{1}$

$+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}'+\ldots \right]Y_{1}'+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}-\ldots \right]Y_{1}''+\ldots \,;$

d’où en retranchant,

$=\left\{{\begin{aligned}&\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}''-\ldots \right]Y_{1}\\\\&+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}'+\ldots \right]Y_{1}'+\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}-\ldots \right]Y_{1}''+\ldots \\\\&-\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]Y_{0}\\\\&-\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]Y_{0}'-\left[\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots \right]Y_{0}''-\ldots \end{aligned}}\right\}(\mathrm {V} )$

équations que nous appellerons à l’avenir équation aux limites, et qui, comme l’on voit, ne renferme plus, outre les valeurs encore indéterminées de $Y,Y',Y'',\ldots$ aux deux extrémités de l’intégrale, que les deux limites $a_{0},a_{1}$ et les constantes introduites par l’intégration de l’équation (III).

10. Cela posé, si aucune condition particulière n’a été prescrite relativement aux limites, les fonctions

$Y_{0},Y'_{0},Y''_{0},\ldots Y_{1},Y'_{1},Y''_{1},\ldots$

devront conserver l’indépendance la plus absolue. L’équation (V) ne pourra donc alors subsister qu’autant que les coefficiens de ces diverses fonctions seront séparément nuls ; cette équation (V) se partagera donc dans les suivantes :

${\begin{aligned}&=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots ,\\\\&=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots ,\\\\&=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots ,\\\\&=\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\left.{\begin{aligned}&0=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}'+\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}''-\ldots ,\\\\&0=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}-\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}'+\ldots ,\\\\&0=\left({\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}-\ldots ,\\\\&0=\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}(\mathrm {VI} )$