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QUESTIONS RÉSOLUES.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème de géométrie énoncé
à la page 321 du XII.^e volume des Annales ;

Par MM. Pagani Michel, ingénieur à Genève,
Par MM. Querret, chef d’institution à St-Malo,
Par MM. Et Durrande, professeur de physique au collége
royal de Cahors.

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THÉORÈME. La circonférence qui passe par les centres de trois quelconques des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés d’un triangle quelconque est double de celle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

Démonstration. Soient $\mathrm {A,B,C}$ (fig. 17) les trois sommets du triangle dont il s’agit. Concevons que l’on en ait divisé les trois angles en deux parties égales par des droites ; il est connu que ces droites concourront toutes en un même point $\mathrm {O} ,$ centre du cercle inscrit. Par les sommets d’où parlent ces droites, menons-leur respectivement des perpendiculaires, formant, par leur rencontre deux à deux, un nouveau triangle circonscrit au premier. Soient $\mathrm {A',B',C'}$ les sommets qui, dans ce dernier, sont respectivement opposés aux sommets $\mathrm {A,B,C}$ du premier ; ces points seront, comme l’on sait, les centres des trois cercles ex-inscrits au triangle $\mathrm {ABC} \,;$ c’est-à-dire, les centres de trois cercles dont chacun touche, à la fois, un côté du triangle et les prolongemens des deux autres.

Les points $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {O} ,$ étant ainsi les centres de deux cercles inscrits à un même angle $\mathrm {BAC} ,$ devront se trouver en ligne droite avec le sommet $\mathrm {A}$ de cet angle ; et, pour de semblables raisons, les points $\mathrm {B',O,B,} ,$ ainsi que les points $\mathrm {C',O,C}$ seront égale-