avons fait usage dans le précédent corollaire, on démontrera qu’à l’inverse entre tous les arcs de courbes de même longueur, qui ont une corde commune, l’arc de cercle est celui qui renferme le plus grand espace entre lui et sa corde.
THÉORÈME III. Entre tous les corps de même volume, la sphère est celui qui à la moindre surface.
Démonstration. Si l’on nie cette proposition, il faudra admettre que, parmi tous les corps d’un même volume donné, celui de moindre surface est autre que la sphère, et que c’est par conséquent un corps dans lequel on pourra trouver trois cordes parallèles infiniment voisines, au moins, non situées dans un même plan, dont les milieux ne soient pas dans un même plan perpendiculaire à leur direction commune.
Soit (fig. 16) le milieu d’une corde, et soit le plan de la figure un plan conduit par ce milieu, perpendiculairement à sa direction ; soient les points où ce plan est percé par deux autres cordes parallèles à celle-là qui en soient infiniment voisines et qui ne soient pas situées dans le même plan avec elle ; et supposons que ces deux nouvelles cordes n’aient point leurs milieux en et Concevons le plan de la figure partagé en un réseau de triangles infiniment petits, par les sommets desquels soient menées des cordes parallèles aux trois premières ; ces cordes seront les arêtes latérales d’une suite de troncs de prismes triangulaires dont nos triangles seront des sections perpendiculaires aux arêtes.
Cela posé, on pourra faire glisser les cordes ou arêtes qui passent par et jusqu’à ce qu’elles aient leurs milieux en ces points. En opérant ainsi de proche en proche sur toutes celles des autres cordes qui n’auront pas leur milieu sur notre plan, jusqu’à ce qu’on les ait amenées à les y avoir toutes, on n’aura point changé le volume au corps dont il s’agit, tandis qu’on en aura (Lemme IV) diminué la surface ; d’où l’on conclura que cette surface n’était pas la moindre de toutes celles qui pouvaient contenir le volume donné.
