Soit (fig. 15) une de ces cordes, et soit la perpendiculaire indéfinie menée à sa direction par son milieu soit la corde consécutive à ayant son milieu hors de si l’on fait glisser cette corde jusqu’à ce que son milieu se trouve sur cette droite, en faisant suivre le mouvement à toute la partie intérieure de la figure ; sa surface totale n’en aura éprouvé aucun changement, mais la somme et conséquemment le périmètre (Lemme II) sera devenu moindre ; d’où l’on conclura que la surface proposée n’est pas celle de moindre périmètre, entre toutes celles qui lui sont équivalentes.
Corollaire. Il suit de là qu’entre toutes les surfaces planes de même périmètre, le cercle est celle de plus grande étendue. Supposons en effet que l’on prétende que la surface de moindre étendue, sous un périmètre donné soit une surface différente d’un cercle. Soit fait un cercle équivalent à son périmètre par ce qui précède, sera donc, si l’on fait un cercle dont le périmètre soit ce cercle aura une surface plus grande que et conséquemment plus grande que d’où il résultera que ne sera pas la plus grande surface contenue sous le périmètre comme on l’avait d’abord supposé.
THÉORÈME II. De toutes les courbes planes qui, ayant une corde commune, enferment le même espace entre elles et cette corde, l’arc de cercle est celle de moindre longueur.
Démonstration. Admettons qu’il n’en soit pas ainsi. Soit l’arc de cercle et un arc d’une autre courbe, d’une longueur enfermant le même espace et soit achevée la circonférence. Supposons que la longueur du surplus soit et qu’elle enferme un espace nous aurions ainsi un même espsce renfermé d’une part par une circonférence dont la longueur serait et d’une autre par une courbe non circulaire dont le périmètre serait ce qui est impossible (Théorème I).
Corollaire. Par un raisonnement tout semblable à celui dont nous
