parallèle au plan de l’autre base ce plan détachera du tronc une pyramide quadrangulaire, ayant pour base le trapèze et devant avoir son sommet en quelque point de la parallèle menée par le point aux deux bases de trapèze. En outre, les deux triangles et seront égaux ; de sorte que, la face latérale étant donnée, pour que la somme des aires des deux bases soit la moindre possible, il sera nécessaire et il suffira que la somme des aires des faces latérales de la pyramide, ayant pour bases les côtés non parallèles et du trapèze, soit la moindre possible, ce qui exigera (Lemme III) que l’arête soit tellement située que les plans de ces deux faces soient également inclinés sur la base de ce trapèze ; d’où il résultera que les deux bases et seront aussi également inclinées sur la face latérale
Ainsi, les situations de deux des arêtes latérales de tronc étant données, la situation de la troisième qui rend minimum la somme des aires des deux bases est celle qui rend ces bases également inclinées sur le plan des deux autres arêtes ; d’où il suit que, pour que la somme des aires de ces bases soit un minimum absolu, il faut que leurs plans soient également inclinés sur celui de chacune des trois faces latérales ; or, c’est ce à quoi on parvient évidemment en plaçant les milieux des trois arêtes sur le plan de la section perpendiculaire a leur direction commune ou, en d’autres termes, en rendant le tronc isocèle.
THÉORÈME I. Entre toutes les figures planes de même surface, le cercle est celle qui a le moindre périmètre.
Démonstration. Si l’on nie cette proposition, il faudra admettre que, parmi les figures planes d’une même étendue donnée, celle de moindre périmètre est autre que le cercle ; et que c’est par conséquent une figure dans laquelle on pourra trouver deux cordes parallèles, infiniment voisines, qui n’auront pas leurs milieux sur une même perpendiculaire à leur direction commune.
