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DES PUISSANCES DES COSINUS.

${\frac {A}{\alpha }}\left(\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}}\right),\qquad {\frac {B}{\beta }}\left(\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}}\right),$

dans lesquelles il faudra mettre à la place de $\alpha$ et $\beta$ les nombres qui satisfont à la condition ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {A}{B}},$ sans cesser cependant d’être compris parmi ceux qui expriment la racine $n$^me de $+1$ ou $-1,$ et où il faudra de plus mettre successivement pour $\alpha '$ et $\beta '$ toutes les valeurs qui répondent à cette même racine $n$^me.

Le développement de $2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x$ étant, comme nous l’avons dit, $X\pm X'{\sqrt {-1}}\,;$ nous aurons ici $A=X,\ B=\pm X'\,;$ et par conséquent la quantité de $2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x$ sera représentée par ${\frac {X}{\alpha }}$ ou par $\pm {\frac {X}{\beta }}\,$; d’où il suit que toutes les valeurs de $2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x$ seront comprises dans les formules

${\frac {X}{\alpha }}\left(\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}}\right),\qquad {\frac {X'}{\beta }}\left(\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}}\right),\qquad (\nu )$

Il ne nous sera pas difficile maintenant de rendre raison de toutes les singularités apparentes que présente le développement de la fonction $\operatorname {Cos} .^{m}x.$ Et d’abord on voit, par les formules $(\nu ),$ que cette fonction est de la forme $AX$ ou $A'X',\ A$ et $A'$ étant deux constantes ; et voilà pourquoi l’équation différentielle

$ny\operatorname {Sin} .x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .x=0$

est satisfaite par la supposition de $y=A'X'$ aussi bien que par celle de $y=AX.$

En second lieu, l’équation ${\frac {X}{\pm X'}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ nous apprend qu’on $\beta =0$ lorsque $X'=0,$ et vice versâ. On voit donc pourquoi $A',$