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FONCTIONNELLES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\psi x={\frac {1-(1+a)x+a(2-a)x^{2}-ax^{3}}{\left(1+a^{3}\right)x(1-x)}},$

En général, si l’on a l’équation

$\operatorname {F} \left\{x,\psi (x),\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x)\ldots \psi \left(\operatorname {f} ^{n-1}x\right)\right\}=0,$

dans laquelle $\operatorname {f} x$ désigne une fonction périodique du $n.$^me ordre ; c’est-à-dire, telle que $\operatorname {f} ^{n}x=x.$ En y changeant n-1 fois x en $\operatorname {f} x,$ il viendra

${\begin{aligned}&\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} x,\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (\operatorname {f} ^{3}x)\ldots \psi (x)\right\}=0,\\&\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} ^{2}x,\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (\operatorname {f} ^{3}x),\psi (\operatorname {f} ^{4}x)\ldots \psi (\operatorname {f} x)\right\}=0,\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} ^{n-1}x,\psi (\operatorname {f} ^{n-1}x),\psi (x),\psi (\operatorname {f} x)\ldots \psi (\operatorname {f} ^{n-2}x)\right\}=0,$

on aura donc ainsi $n$ équations, entre lesquelles éliminant $\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (\operatorname {f} ^{3}x),\ldots \psi (\operatorname {f} ^{n-1}x),$ on tirera de l’équation résultante la valeur de $\psi (x)$ en fonction de $x.$

§. III.

Des cas où la précédente méthode est en défaut.

La méthode que nous venons de faire connaître pour la résolution des équations fonctionnelles suppose essentiellement que les diverses quantités sous le signe $\psi ,$ sont susceptibles d’être déduites les unes des autres et de $x$ par une suite de semblables opérations qui, suffisamment répétées, conduisent de nouveau à cette même quantité $x\,;$ elle suppose de plus qu’en substituant dans l’équation