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FONCTIONNELLES.

§. II.

Des équations fonctionnelles.

I. Soit, en général, l’équation

$\operatorname {F} \left\{x,\psi (x),\psi (\operatorname {f} x)\right\}=0,$

dans laquelle $\psi$ est le signe d’une fonction dont la forme est inconnue et où $\operatorname {f}$ désigne une fonction périodique du second ordre ; c’est-à-dire, une fonction telle que $\operatorname {f} ^{2}(x)=x\,;$ et supposons qu’il soit question de résoudre cette équation par rapport à la caractéristique $\psi ,$ c’est-à-dire, de déterminer $\psi (x)$ en fonction de $x$ et des constantes que renferme la proposée.

Pour y parvenir, soit changé $x$ en $\operatorname {f} (x),$ l’équation deviendra

$\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} (x),\psi (\operatorname {f} x),\psi (x)\right\}=0,$

éliminant donc $\psi (\operatorname {f} x)$ entre celle-ci et la proposée, il en résultera une équation de laquelle on pourra tirer la valeur de $(\psi x),$ en fonction de $x,\ \operatorname {f} (x)$ et des constantes ; et comme $\operatorname {f} (x)$ est supposé une fonction de forme connue, il n’entrera finalement que $x$ et des constantes dans la valeur de $\psi (x).$

Soit, par exemple, l’équation

$\psi (x)-a\psi \left({\frac {1}{x}}\right)=e^{x},$

où ${\frac {1}{x}}$ est fonction périodique du second ordre ; en y changeant $x$ en ${\frac {1}{x}},$ elle deviendra