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FONCTIONNELLES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

particuliers donnés par M. Babbage, nous nous bornerons à citer les suivans :

$\psi (x)={\frac {x}{\sqrt[{m}]{x^{m}-a^{m}}}},\qquad \psi (x)=\operatorname {Log} .(a-e^{x}),$

$\psi (x)=\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .=(a-\operatorname {Tang} .x)\right\},\qquad \psi (x)=x-\operatorname {Log} .(e^{x}-1).$

III. Une fonction périodique du troisième ordre est celle qui satisfait à la condition $\psi ^{3}(x)=x.$ En suivant un procédé analogue à celui qui vient de nous conduire aux fonctions périodiques du second ordre, si $\operatorname {f}$ désigne une fonction d’une forme particulière quelconque satisfaisant à la condition $\operatorname {f} ^{3}(x)=x$ et que $\phi$ et $\phi ^{-1}$ soient toujours deux fonctions tout-à-fait arbitraires, telles que $\phi ^{-1}\phi (x)=\phi \phi ^{-1}(x)=x,$ c’est-à-dire deux fonctions inverses l’une de l’autre, on aura encore ici

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x).$

Il en résultera, en effet

$\psi ^{2}(x)=\psi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)\right]=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)\right],$

ou

$\psi ^{2}(x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} ^{2}\phi (x),$

et par suite

$\psi ^{3}(x)=\psi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} ^{2}\phi (x)\right]=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} ^{2}\phi (x)\right],$

ou

$\psi ^{3}(x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} ^{3}\phi (x)=\phi ^{-1}\phi (x)=x.$

Tout se réduit donc à savoir trouver une seule fonction $\operatorname {f}$ telle que $\operatorname {f} ^{3}(x)=x\,;$ et, à l’aide de celle-là et de la fonction arbitraire $\phi ,$ nous pourrons trouver une infinité de valeurs de la fonction $\psi .$ Or, on peut procéder dans la recherche de cette fonction $\operatorname {f}$ de la