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ÉQUATIONS

$x=-{\frac {e-gy}{f-hy}}\,;$

nous en conclurons

$\phi ^{-1}(x)=-{\frac {e-gy}{f-hy}}\,;$

ce qui donne en effet,

$\phi ^{-1}\phi (x)=-{\frac {e-g{\frac {e+fx}{g+hx}}}{f-h{\frac {e+fx}{g+hx}}}}=-{\frac {e(g+hx)-g(e+fx)}{f(g+hx)-h(e+fx)}}={\frac {(fg-eh)x}{fg-eh}}=x.$

Mettant donc toutes ces valeurs dans la formule

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x),$

il viendra

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \left({\frac {e+fx}{g+hx}}\right)=\phi ^{-1}\left\{{\frac {a-c{\frac {e+fx}{g+hx}}}{c+d{\frac {e+fx}{g+hx}}}}\right\}=\phi ^{-1}\left\{{\frac {a(g+hx)-c(e+fx)}{c(g+hx)+d(e+fx)}}\right\}\,;$

c’est-à-dire,

$\psi (x)=\phi ^{-1}\left\{{\frac {(ag-ce)+ah-cf)x}{(cg+de)+(ch+df)x}}\right\}=-{\frac {e-g{\frac {(ag-ce)+ah-cf)x}{(cg+de)+(ch+df)x}}}{f-h{\frac {(ag-ce)+ah-cf)x}{(cg+de)+(ch+df)x}}}}\,;$

ce qui donne, toutes réductions faites,

$\psi (x)=-{\frac {\left(2ceg+de^{2}-ag^{2}\right)+(ceh+def-agh+cfg)x}{(ceh+def-agh+cfg)+\left(2cfh+df^{2}-ah^{2}\right)x}}\,;$

formule dans laquelle les sept quantités $a,c,d,e,f,g,h$ sont tout-à-fait arbitraires.

On voit, par ce seul exemple, comment on peut façonner, pour ainsi dire, à volonté ces sortes de fonctions. Entre autres cas