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FONCTIONNELLES.

$\operatorname {f} (x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,;$

nous aurons

$\operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a+b{\frac {a+bx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a+bx}{c+dx}}}}={\frac {a(c+dx)+b(a+bx)}{c(c+dx)+d(a+bx)}}={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right)x}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c)x}}\,;$

afin donc d’avoir $\operatorname {f} ^{2}(x)=x,$ il faudra poser

${\begin{aligned}&a(b+c)=0,\\&d(b+c)=0,\end{aligned}}$

$ad+c^{2}=ad+b^{2}\quad$ou$\quad c^{2}=b^{2}\,;$

on satisfait à la fois à ces trois conditions, en posant $b=-c$ et laissant $a,c,d$ arbitraires, de sorte qu’on a

$\operatorname {f} (x)={\frac {a-cx}{c+dx}}\,;$

il en résulte en effet

$\operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a-c{\frac {a-cx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a-cx}{c+dx}}}}={\frac {a(c+dx)-c(a-cx)}{c(c+dx)+d(a-cx)}}={\frac {\left(ad+c^{2}\right)x}{ad+c^{2}}}=x.$

Pour donner aussi un peu de généralité à la fonction $\phi ,$ posons

$\phi (x)={\frac {e+fx}{g+hx}}\,;$

en observant que, si l’on pose

${\frac {e+fx}{g+hx}}=y,$

il en résulte