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FONCTIONNELLES.

$\phi \psi \left({\frac {x+a}{x-b}}\right)={\frac {a}{a-{\frac {(b+1)x-\left(b^{2}-a\right)}{b(x-b)}}}}={\frac {ab(x-b)}{(ab-b-1)x-\left(a^{2}b-b^{2}+a\right)}}.$

Il n’en faut pas davantage pour montrer combien, en général, il importe ici d’avoir égard à l’ordre suivant lequel les signes et les opérations se succèdent, et combien il est nécessaire d’opérer toujours du signe le plus voisin de la quantité dont il s’agit à celui qui le précède immédiatement.

Cette attention cesse au surplus d’être nécessaire, dès qu’il s’agit d’un même signe de fonction plusieurs fois répété ; on peut même alors n’écrire le signe qu’une seule fois, en l’affectant d’un exposant égal au nombre de fois qu’il devrait être écrit consécutivement. Si, par exemple, on donne pour définition du signe $\phi$

$\phi (t)=a^{t},$

on aura

$\phi (x)=a^{x},$

${\begin{aligned}&\phi ^{2}(x)=\phi \left[\phi \,\ \ (x)\right]=\phi \left(a^{x}\ \ \ \right)=a^{a^{x}},\\&\phi ^{3}(x)=\phi \left[\phi ^{2}(x)\right]=\phi \left(a^{a^{x}}\right)=a^{a^{a^{x}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite. Si l’on donne, pour définition du signe $\psi ,$

$\psi (t)={\frac {2}{2-t}},$

on trouvera

$\psi \left({\frac {2-x}{1-x}}\right)={\frac {2}{2-{\frac {2-x}{1-x}}}}=-{\frac {2(1-x)}{x}},$