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ÉQUATIONS

$a\psi \left[{\frac {a(x-a)}{x}}\right]+(x-a)\psi (x)=-a^{2}\,;$

éliminant donc, entre ces trois équations, les deux fonctions

$\psi \left[{\frac {a(x-a)}{x}}\right],\qquad \psi \left[-{\frac {a^{2}}{x-a}}\right],$

comme deux inconnues, l’équation résultante sera

$(x-a)\psi x=-ax\,;$

d’où

$\psi x=-{\frac {ax}{x-a}}\,;$

puis donc que nous avons pris pour l’équation de la courbe cherchée $y=\psi x\,;$ cette équation sera

$y=-{\frac {ax}{x-a}}\,;$

ainsi la courbe cherchée est une hyperbole qui passe par l’origine et dont les asymptotes, respectivement parallèles aux axes des coordonnées, coupent l’une l’axe des $x$ à une distance $a$ à droite de l’origine, et l’autre l’axe des $y$ à la même distance $a$ au-dessous de cette origine.

Le succès des transformations qui nous ont conduit à la solution du problème que nous nous étions proposé tient, comme on le voit, à ce que la fonction ${\frac {a(x-a)}{x}}$ se change en $-{\frac {a^{2}}{x-a}},$ lorsqu’on y change $x$ en ${\frac {a(x-a)}{x}},$ et à ce que la dernière se réduit simplement à $x,$ lorsqu’on y opère la même transformation ; c’est-à-dire, en d’autres termes que, si l’on pose,