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INTÉGRALES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\int x^{a}(1-x)^{b}\operatorname {d} x={\frac {a!b!}{(a+b+1)!}}\quad {\begin{array}{|c|}\hline x=0\\x=1\\\hline \end{array}}\,;$

ce qui établit entre les intégrales Eulériennes une relation très-remarquable, déjà connue depuis long-temps. Nous ne discuterons pas les cas particuliers que présente l’équation (3). On peut les voir dans les Exercices de calcul intégral de M. Legendre.

L’on a, en mettant au lieu de $\operatorname {Cos} .qy$ son développement,

$\int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {d} y=\int e^{-y}\operatorname {d} y\left(1-{\frac {q^{2}y^{2}}{2!}}+{\frac {q^{4}y^{4}}{4!}}-{\frac {q^{6}y^{6}}{6!}}+\ldots \right)\,;$

d’où, en intégrant depuis $y=0$ jusqu’à $y={\frac {1}{0}},$

$\int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {d} y=1-q^{2}+q^{4}-q^{6}+\ldots ={\frac {1}{1+q^{2}}}.\qquad$(4)

On trouverait de même, et entre les mêmes limites,

$\int e^{-y}\operatorname {Sin} .qy\operatorname {d} y={\frac {q}{1+q^{2}}}\,;\qquad$(5)

partant

$\int \int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {Cos} .qx\operatorname {d} y\operatorname {d} q=\int {\frac {\operatorname {Cos} .qx\operatorname {d} q}{1+q^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}e^{-x},$

$\int \int e^{-y}\operatorname {Sin} .qy\operatorname {Sin} .qx\operatorname {d} y\operatorname {d} q=\int {\frac {q\operatorname {Sin} .qx\operatorname {d} q}{1+q^{3}}}={\frac {\varpi }{2}}e^{-x}\,;$

pourvu qu’on prenne les intégrales depuis $y=0$ jusqu’à $y={\frac {1}{0}}$ et depuis $q=0$ jusqu’à $q={\frac {1}{0}}.$